מעוניינים באוירת לימודים שונה ורגועה?

השאירו פרטים ונחזור בהקדם

מתמטיקה: ה"סתם" – זה בעצם העיקר

מתמטיקה – זה מעניין מישהו בכלל?

הייתי בכיתה ד', אם אינני טועה, כשהתחלנו ללמוד לחשב ממוצע. הייתי טוב בחשבון, אבל חישוב ממוצע נראה לי בלתי מובן לחלוטין. המורה אמרה לי שוב ושוב: "פועל א' קטף שישה תפוזים, ופועל ב' קטף עשרה תפוזים. אז עושים עשר ועוד שש ומחלקים בשתיים כי מספר הפועלים זה שתיים, או שניים, ויוצא שמונה. אז כל פועל קטף בממוצע שמונה תפוזים. מבין?"

"לא."

אחרי עוד כמה הסברים, למעשה אחרי כמה פעמים של אותו הסבר, בליווי ציורים ו"אמצעי המחשה" שונים ומשונים, המורה כבר התעצבנה: "מה יש פה לא להבין?? מחברים את כל התפוזים שזה שש ועוד עשר ומחלקים במספר הפועלים שזה שתיים או שניים ויוצא שמונה! יותר פשוט מזה אין! הבנת?"

"לא. כאילו… איך זה שכּל אחד קטף שמונה?"

"שש ו-עוד ע-שר חל-קי שת-יים…"

"כן, שווה שמונה," אמרתי, "אבל איך זה יכול להיות?"

בסופו של דבר נמאס לה, והיא עברה למשהו או למישהו אחר. ואני נשארתי עם התעלומה: איך זה יכול להיות שפועל אחד קטף קצת תפוזים, והפועל השני קטף הרבה תפוזים, ובסוף יוצא ששניהם קטפו אותו דבר?? איפה הפרדס הזה, באזור הדמדומים? אני זוכר שניסיתי להבין איך יכולות להתקיים כל המשפחות המטורפות האלה עם 2.67 ילדיהן המוזרים. וזכור לי גם שהרהרתי פעם האם כל העניין הזה עם הממוצע באמת עובד, כי אם כן, זה באמת מידע חשוב לחיים: תמיד עדיף לעבוד פחות, שהרי במילא בסוף זה יוצא אותו הדבר.

עד שפעם מישהו נתן לי הסבר ממצה ופתר לי את העניין אחת ולתמיד: "ממוצע – זה סתם!"

אההההה, זהו! זה לא באמת שכּל אחד קטף אותו דבר, במציאות יש תוצאות שונות ומספרים שונים, ומי שקטף יותר תפוזים – אז באמת יהיו לו יותר תפוזים מאשר לזה שקטף פחות. הממוצע זה חישוב שמבטא משהו לא מציאותי, משהו שהוא "לא באמת". מה זה המשהו הזה? אני מודה שכבר לא היה אכפת לי.

כשהתחלתי בעצמי ללמד מתמטיקה, ולשם כך חקרתי את המשמעויות של כל דבר, הגעתי לניסוח מדויק יותר של ממוצע: אִלּוּ היינו לוקחים את כל התפוזים שכל פועל קטף, ומחלקים אותם בין כל הפועלים שווה בשווה, אז המספר שהיה יוצא – זה הממוצע. ומכיוון שזה רק "אִלּוּ", ולא היינו עושים זאת באמת, אז זה סביר וקביל שהממוצע יהיה לא מציאותי, למשל שבכל משפחה יש בממוצע שתיים-נקודה-משהו ילדים. ובשביל מה צריך את זה בכלל? את זה אני מברר ביחד עם התלמידים. ותאמינו או לא, זה דיון שמעורר הרבה התלהבות, דעות לכאן ולכאן, וזה יכול להגיע לפסים שכּלל אינם מתמטיים, אלא ערכיים וחברתיים.

לא רק ממוצעים, גם תחומים אחרים במתמטיקה הם בלתי מציאותיים במהותם, וההבנה שזה כך, יש והיא-היא המפתח להבנה מלאה של התחום כולו. למשל – מספרים שליליים. וכבר פגשתי כמה תלמידים, שלא הצליחו להבין איך זה יכול להיות. אתם צודקים, אמרתי להם. איך בכלל יכול להיות דבר כזה כמו "מינוס שלוש"? מי שחושב שיש כזה דבר – שמחר בבוקר יביא לכיתה מינוס שלוש עגבניות.

"אבל יש מינוס!" אמרה לי תלמידה אחת, "מפלס הכינרת הוא מינוס מאתיים, לא?"

כן, אבל… זה לא אומר שיש מינוס-מאתיים ליטר מים… זה אומר שיש במאתיים ליטר פחות מ… פחות ממה שקבענו כנקודת האפס. ה"מינוס" מסמן את היחס בין מה שיש לבין מה שאנו קבענו כנקודת האפס, כנקודת ההתחלה. ואם נרצה לדעת מהי הכמות האמיתית של המים בכינרת, נצטרך לספור את הליטרים שיש, בלי להתחשב בכמה היינו רוצים שיהיו… ואז, כשזה מציאותי-אובייקטיבי לחלוטין, אין שום מינוס.

ומה עם מינוס בבנק? מה, אין דבר כזה? למעשה, אין. אבל גם אין סיבה לשמוח… כלומר, אם אנחנו במה שקוראים "מינוס", ונרצה לספור את הכסף שיש לנו, אז… יֵצא לנו אפס מאופס… ה"מינוס" זה לא כסף שיש לנו, אלא – טוב, האמת שאני לא בדיוק יודע, אבל נדמה לי שאפשר לומר זאת כך: "אנחנו חייבים לבנק כך וכך ש"ח." והַ"כך וכך" הזה הוא, מה לעשות, מספר אמיתי בהחלט. וגם זה משהו שאפשר לשוחח אתו עם התלמידים. וכמובן, אפשר לשאול – זה מעניין אותם בכלל??

ובכן, מהניסיון שלי – בהחלט כן. קודם כל – כסף, נרצה או לא, זה מעניין. ואם נחזור למתמטיקה ולמושג המינוס בכללותו, אז… המצאנו דברים שאינם באמת קיימים, על מנת שנוכל להבין ולתאר את העולם ואת ההתרחשויות שמתקיימות בו. לי, ולחלק ניכר מתלמידיי, זה נראה יופי של נושא לשיחה.

*********************************************************

אחד המשפטים שאני רגיל לשמוע ממורים, הוא "הילד הזה – צריך להראות לו בדיוק-בדיוק מה עושים, בלי כל הקשקושים שמסביב, אחרת סתם תבלבל אותו." או: "הכי חשוב ללמד אותו פטנטים." אני שומע דברים ברוח זו גם מהתלמידים עצמם: "אני – תסביר לי בדיוק-בדיוק מה שעושים, כמו למפגר." וילדה אחת בת 16 אמרה לי פעם: "אל תסביר. תְּלַמֵּד." וזאת לא רק במתמטיקה – גם בהיסטוריה, בספרות, בכל דבר. התהליך הלימודי-רגשי שאני עובר עם התלמיד הוא, כמובן, מנוגד תכלית הניגוד לכך. איך בפועל אני עושה את זה ואיך כל מורה יכול לעשות את זה – על כך ברשומות הבאות.

קורס הבסיס המקוון בשיטת רבדים הועבר בהצלחה רבה, וכעת ניתן לרכישה.

בין התכנים: ביטחון עצמי, הקשבה, התמודדות ומיומנויות ייחודיות לשיטת רבדים.

פרטים מלאים בקישור זה.

רוצים ללמוד באווירה אחרת?

השאירו פרטים ונחזור בהקדם:


הממליצים שלנו

איריס סמליאן - אמא של אורן ובן

ליאור דגן מורה מיוחד. מצליח לגרום גם לתלמיד שמאמין שהוא שונא ללמוד, לגלות בתוכו את הסקרנות ואת הרצון להבין. אני מאושרת שבחרתי בו כמורה לילדיי.

איריס קורן - אמא של אור

הבחור תותח על! ממליצה בחום רב. הוא הצליח להציל (לא, זו לא הגזמה) את בתי אחרי שהמורות כבר סיווגו אותה כ"בינונית" וש"לא נצפה ממנה ליותר מדי", ואחרי טיפול של ליאור היא סיימה י"ב בהצטיינות. בזכות ליאור היא הפכה להיות מי שהיא צריכה להיות ולא מי שרצו שהיא תהיה.

איתי בראונשטיין - סטודנט באוניברסיטת ת"א

ליאור עזר לי מאוד בשיעורים הפרטיים במהלך הסמסטר, שהתבצעו בעזרת תוכנת הסקייפ, ללמוד את החומר מרמה של חוסר הבנה כמעט מוחלט לרמה שאפשרה לי לעבור את המבחן במועד א'.

אסנת טרנוס - מאמנת אישית, אמא של גיל

מחוויה אישית מביקור אצל ליאור עם הבת שלי, אני יכולה להעיד על שיעור מצחיק ומעורר סקרנות. זו הייתה חוויה אחרת שונה מעוררת ובהחלט מלאת הומור וכיף גדול! ואנחנו למודי ניסיון עם דרכים אחרות. אני יכולה רק לומר בצער: חבל שלא פגשנו אותך הרבה לפני - הרבה תסכול היה נחסך מאיתנו.

לימור פרידמן - ספרנית ומורה לפסנתר ומוסיקה בבית ספר תיכון

הדילמות מוצגות ע'י ליאור בכישרון רב, בסיפורים שניתן להזדהות ולהתמגנט בקלות עם גיבוריהם. בכל הרצאה הצופה מצטייד בתובנות שעשויות לחולל שינוי משמעותי בהמשך דרכו בחיים. ניכר כי נעשתה הכנה רבה וחשיבה עמוקה בדרך ההגשה וכן רצון אדיר לסייע ולהוביל את הצופה למסע אל מחוזות חשובים בעבורו. אני מודה מעומק הלב לליאור על הרצאותיו המעולות ומצפה לעוד רבות.

אורנה אנגל - מורה לאומנות ומחנכת

ליאור מביא מסר חשוב, אולי החשוב ביותר שניתן להביא: "הייה אתה, בדיוק כמו שאתה." החיבור של ליאור לדמויות שהוא מספר עליהן מתגלה במהלך ההרצאה, והוא נוגע ללב ומשעשע כאחד.

לירי שדמי - יועצת חינוכית ומלווה ילדים עם צרכים מיוחדים

אני מלאת התפעלות מהדרך שלך לעבוד עם הנערה הזאת גם במתמטיקה וגם בפן ההתנהגותי והמוסרי. תבורך.

אביגיל אורן - מורה למתמטיקה בחינוך הרגיל והמיוחד

ליאור הוא נכס. כשליאור לוקח מקרה לידיו הוא נותן את הנשמה ואינו חוסך שמץ של מאמץ. הוא מתייחס לכל מקרה כאילו הוא במרכז עולמו.
חברת פרסום דיגיטלי חברת פרסום דיגיטלי